Energía eólica

DISEÑO DE LAS PALAS   

LARGO Y ALABEO

Dado que la velocidad tangencial de las palas es proporcional al radio, desde el centro en el cual es cero, hasta el extremo máximo de la pala, de acuerdo a la  siguiente formula:

siendo w la velocidad angular en radianes y n el número de revoluciones por minuto de la hélice, resulta entonces que para mantener constante el ángulo de ataque a lo largo de toda la pala, es necesario dotarla de un alabeo a medida que nos acercamos desde el extremo al centro de la misma si queremos optimizar el rendimiento. Dicho alabeo como veremos no  es importante para la primera mitad de la pala pero a medida que nos acercamos al centro asume una importancia fundamental. Sin embargo también es cierto, y lo demostraremos posteriormente, la contribución a la potencia total que tiene la parte central es despreciable por lo que el razonamiento se limitará solamente a la mitad o a lo sumo a las tres cuartas partes de la longitud de la pala.

Tomemos como base la velocidad del viento promedio de la zona donde se presume vamos a instalar la unidad, por ejemplo 7 metros por segundo y al mismo tiempo una velocidad de régimen (característica del extremo de la pala, lo cual posteriormente se analizará  para definir sin empirismos, o por lo menos tratar de reducirlos  al  mínimo), digamos 50 metros por segundo.

Estos dos datos definen para el extremo de la pala el ángulo de ataque de acuerdo a lo siguiente:

Ahora bien, si queremos conservar el ángulo de ataque en la mitad del Rmax, deberá cumplirse que 

y el alabeo deberá ser entonces la diferencia de los ángulos, o sea 

si bien el gradiente del alabeo es hiperbólico ya que tg a = k/r y esto es la ecuación de una hipérbola, en la primera parte de la misma es despreciable el  error  que se comete al considerarla como una recta. Recién cuando se acerca al centro la variación es importante pero ya dijimos que demostraríamos que la contribución a la potencia total es insignificante y por lo tanto despreciaremos no solo el análisis del centro de la hélice sino  también la hélice misma. Como esto ya  parece una promesa  incumplida, seguidamente y aunque se pierda un poco el orden, trataremos de demostrar este concepto. Previamente una pequeña introducción con respecto al análisis  diferencial e integral, extraordinaria herramienta básica de la ingeniería sin la cual el progreso del mundo hubiese sido imposible, pero que en la actualidad, y con la presencia y los avances espectaculares de la computación, creo que sería perfectamente factible reemplazarlo. Pretenden ser estos comentarios una disculpa para aquellos que no tuvieron la suerte de recibir  capacitación sobre está doctrina matemática y de paso, justificación para aquellos que la tuvieron y no supieron captar la importancia que tiene.

    Explicar sin el auxilio del calculo integral los conceptos que siguen no es fácil como también es imposible en el tiempo que disponemos, y tampoco es el objetivo de este curso, trasmitir el conocimiento básico necesario. Sin embargo creo que vale la pena y aunque sea muy elementalmente tratar de despertar la inquietud de los lectores a través de un método que puede ser la base del calculo integral y que, a mi modo de ver, en combinación con la computadora podría ser una alternativa de reemplazo conceptual.

    En efecto, se trata de un sistema conocido como "diferencias  finitas", cuya aplicación surgirá como auxilio en cada caso que necesitemos.

Tomemos  en consideración un trozo de alabe de ancho b (Ver fig. ) y longitud ¶r (diferencial r) lo suficientemente pequeño como para  que, por  ejemplo, no cometamos  errores muy groseros recordando que cada vez que cambiamos nuestro lugar de observación,  acercándonos o alejándonos del centro de giro, las condiciones cambian. (Par, empuje, velocidad tangencial, etc.)

Lo único que no cambia sería el número de revoluciones de la pala el cual es constante para todos los trozos de la misma. En una palabra el método de análisis sería tal que, por ejemplo a sabiendas de que no es exacto el cálculo, dividiéramos la pala en, digamos, 10 partes iguales y a cada trozo lo  analizáramos en forma individual para posteriormente sumar los resultados.

Es fácil  adivinar que si la división, en lugar de hacerla en 10 tramos la efectuamos en 100, utilizando el mismo principio, la precisión sería muchísimo mayor y hasta me atrevería a decir que el cálculo sería tan, pero tan, aceptable que con respecto al tradicional cálculo integral no habría objeciones de ningún tipo. Es mas, teniendo en cuenta que un buen programa de cálculo sistematizado lo podría llegar a hacer sin dificultades, nos estamos encontrando en el punto al cual  quería llegar. Con diferencias finitas, pero siendo lo suficientemente  pequeñas, terminamos encontrándonos con los resultados del cálculo  integral pero sin tener los conocimientos necesarios  como para salir del paso. El cálculo diferencial, es precisamente eso: hacer  infinitamente  pequeños esos valores y determinar el resultado final computando la suma

los efectos de cada una de esas infinitamente pequeñas partes del todo.

   Después de este paréntesis, tomemos nuevamente el trozo de alabe de longitud infinitamente pequeña¶r (o de 1/10 si queremos usar diferencias finitas y dividimos arbitrariamente por diez) ubicado a una distancia r desde el centro de giro de la pala. Según conceptos clásicos de Ingeniería Aeronáutica la fuerza de sustentación diferencial, que usaremos reiteradamente es, para ese segmento diferencial de alabe

(C_s coeficiente de sustentación,  y   r densidad del aire)

y el momento que es capaz de producir,

pero v es la velocidad relativa compuesta por la  velocidad del viento,  constante para todas las partes de la pala, y la velocidad tangencial de la  misma, que como hemos visto es variable desde Vmax = Rmax . w hasta cero en el centro mismo de giro. Reemplazando queda

para una velocidad de giro dada, un ancho b y c_s, todos constantes

 

    donde

y de acuerdo con los conocimientos básicos del cálculo integral, para obtener  la sumatoria de todos los dM, deberá hacerse la integral de dM

y aquí llega la necesidad de saber que la integral de r³ es r⁴/4

entre los limites de integración que nos interesen, lo cual significa que si intento saber, por ejemplo la contribución que tiene, digamos la mitad exterior de la pala, basta con reemplazar, los límites Rmax y Rmax/2  

     

o sea que  despreciando la mitad del centro de la superficie barrida por la hélice solo se pierde el 6,25% del par y por lo tanto de la potencia total. Por supuesto que este enfoque da como para poder continuar con un análisis mucho mas  profundo y efectuando, criterio de por medio, todas las simulaciones posibles. Por ejemplo, que pasaría si en lugar de mantener el ancho de la pala constante la "afináramos” hacia el extremo, como realmente ocurre en casi todas las palas de los aerogeneradores de gran potencia modernos (el Grandpa, 1939, tenía una pala doble de ancho constante)

     Veamos una versión en que el ancho hipotético fuera b en el centro del eje pero que se fuera afinando un determinado porcentaje a medida  que nos acercáramos al extremo; llamemos t entonces a este ancho variable cuya función sería:

siendo k_b por ejemplo un  2 %

Ejemplo: una pala que tuviese 250 mm. de ancho en la raíz tendría en un largo de 2500 mm. 50mm. menos que en la raíz, o sea terminaría con un ancho de 200  y tendría en la mitad  225mm.

en ese caso, volviendo a la formula (1)

entonces    

entre los limites de integración que nos interese.

 Es también necesario agregar, que el alma, eje o tronco que une la pala a la maza producirá un rozamiento de frenado lo cual obliga también a pensar en el mismo de tal forma que, aún a sabiendas que no contribuye casi en nada a la potencia total,  tampoco despreciarlo de tal forma que por otro lado contrarreste todos los avances que hemos hecho con estas consideraciones.

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Ing. Enrique O.Nielsen

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